Рассказы о математике. Рассказ первый. Задача Пифагора

16 января 2011 - editor7

Московский поэт и философ Александр Балтин пишет:

"Александр,в нашей с вами философской переписке,которую Вы опубликовали на сайте ,есть в Вашем письме,такое место -
Все человеческие "мысли" слабы в принципе,и это доказывается математически.

А как это возможно доказать,Александр?
Что, математика располагает чёткими определениями слабости и силы?
Не то, что за человеческие мысли обидно,а просто интересны пределы(или беспредельность) математики.
Если найдёте время - напишите,любопытно".

Цикл рассказов как раз про это, и он посвящается Александру Балтину.




Рассказ первый. Задача Пифагора




       - Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.
       - Вот сколько, - ответил Пифагор, - половина изучает математику, четверть - природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще три женщины.

       В учебнике задача там, где уравнения.
       Ну, тогда и составляем уравнение:

       X/2 + X/4 + X/7 + 3 = X

Приводим к общему знаменателю (с ужасными, подозрительными дробями вроде 11/28), получаем в ответе X=28. С ответом совпадает. Подставляем в уравнение - да, совпадает. Но что-то, что-то здесь не так...

       Формулировка задачи забавна, литературна. Математика важнее всех, природа - вполовину меньше, проводить время в размышлении - сомнительное занятие, во всяком случае, не изучение, а женщины вообще "кроме того".

       А если кто изучает и математику, и природу? Возможно, кто-то из изучающих проводит время в размышлениях. Да это совсем не та задача! Уравнение не годится. К тому же Пифагор не применял уравнений и не приводил дроби к общему знаменателю. Ничего этого тогда не было. И что теперь делать? Эти X/2, X/4 и X/7 могут совмещаться, да еще 3 женщины могут входить то ли в X/2, то ли 2 в природу, одна в размышления, или еще как.
Впрочем, нет - в условии сказано "кроме того".

       А все-таки, женщины - ученики, или они "кроме" учеников?
Допустим, у Пифагора женщины не ученики. Тогда про учеников известно только то, что половина учит математику, четверть... и т.д. Но тогда годится любое число, которое делится на 2, на 4 и на 7. Таких чисел сколько угодно. Например, учеников может быть 2x4x7=56, а также 560,5600... И во всех случаях три женщины кроме того. Вряд ли Пифагор ставил такую дурную задачу
(математики называют такие задачи "тривиальными"). Значит, 3 входит в искомое число X, а остальное - совмещенные полностью или частично половина, четверть и X/7.

       И кто сказал, что у задачи одно решение? Может быть, если по-разному распределять учеников по предметам, подойдет несколько чисел? Совсем непонятно, как решать.

       Рассмотренный тривиальный случай дает подсказку. Рассмотрим те самые большие числа: 56,5600... Если вычесть указанные доли,остается больше 3 учеников, которые "кроме" (X/2+X/4+X/7).
Попробуем почувствовать (но не доказать), что большие числа не подходят. Ведь математики, натуралисты и размышляющие в сумме образуют некоторую ДОЛЮ общего числа учеников; тогда те, что кроме, тоже образуют какую-то ДОЛЮ. А при увеличении общего числа все доли растут, женская тоже, и именно поэтому при больших числах остается больше 3 женщин.

       Теперь видно, как решать задачу. Проверим число, которое заведомо делится на 2,4,7 - это 2x4x7=56. Оно не подходит - 56 - (56/2 + 56/4 +56/7) = 56 - (28+14+8) = 56 -50 =6 (остается не 3, а 6 женщин). Много. Числа больше 56, по вышенедоказанным соображениям, пробовать не стоит - не подойдут. Пробуем числа, меньшие, чем 56, но такие, чтобы делились на 2,4 и 7. Есть такое число: 28. Пробуем - подходит. А меньше, чем 28, таких чисел нет (то есть таких, что делятся на 2,4,7). Если бы оказались, пришлось бы пробовать и их, накладывая по-разному доли.

       Итак, задача решается не уравнением, а перебором (можно было делать его и с единицы). При этом суть задачи в строгом доказательстве того, что среди чисел, больших 28, больше нет подходящих!

       Предусматривал ли Пифагор все эти умные вещи, или мы их сами придумали? Скорее всего - предусматривал. Здесь вправду простой вариант задачки, для детей. Числа нарочно были подобраны так, чтобы получилось единственное решение без совмещения.

Слегка измененная задача: "половина изучает математику, четверть - природу, восьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще восемь женщин" имеет три решения: 64, 32 и 16.

Как Вы думаете - решили мы эту задачу, или всего лишь изучили проблему (по-английски problem - задача)?
 Математик ставит задачу; инженер ее решает; философ обдумывает - а та ли это вообще задача, которую следует решать. Кто же тогда литератор?

       А есть еще и монахи, и разбойники.

Рейтинг: 0 добавить в избранное

Загрузка комментариев...


← Назад